Le modèle à risques proportionnels de Cox peut être décrit comme suit:
$$ h (t | X) = h_ {0} (t) e ^ {\ beta X} $$ où $ h ( t) $ est le taux de risque au temps $ t $, $ h_ {0} (t) $ est le taux de risque de base au temps $ t $, $ \ beta $ est un vecteur de coefficients et $ X $ est un vecteur de les covariables.
Comme vous le savez, le modèle de Cox est un modèle semi-paramétrique en ce qu'il n'est que partiellement défini paramétriquement. Essentiellement, la partie covariable prend une forme fonctionnelle alors que la partie de ligne de base n'a pas de forme fonctionnelle paramétrique (sa forme est celle d'une fonction pas à pas).
De plus, la courbe de survie du modèle de Cox est:
$$ \ begin {align} S (t | X) & = \ text {exp} \ bigg (- \ int_ {0} ^ {t} h_ {0} (t) e ^ {\ beta X } \, dt \ bigg) \\\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad& \ overset {*} {=} \ text {exp} \ big (- H_ {0} (t) \ big) ^ {\ text {exp} (\ beta X)} \ quad \ quad \ quad ^ {*} \ bigg (H_ {0} (t) = \ int_ {0} ^ {t} h_ {0} (t) \, dt \ bigg) \\ & \ overset {**} {=} S_ {0} (t) ^ {\ text {exp} (\ beta X)} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, \, \, ^ {**} \ Big (S_ {0} (t) = \ text {exp} \ big (-H_ {0} (t) \ big) \ Big) \\\\\ end {align} $$ où $ S (t) $ est la fonction de survie au temps $ t $, $ S_ {0} (t) $ est la fonction de survie de base au temps $ t $ et $ H_ {0} (t) $ est la fonction de risque cumulatif de base au temps $ t $.
L ' hypothèse de proportionnalité peut être mieux illustrée comme suit, nous allons supposons qu'il n'y a qu'une seule covariable wh ich est binaire ($ X = \ {0,1 \} $):
$$ \ begin {align} \ frac {h (t | X = 1)} {h (t | X = 0)} & = \ frac {h_ {0} (t) \ text {exp} (\ beta (1))} {h_ {0} (t) \ text {exp} (\ beta (0))} \ \ & = \ text {exp} (\ beta (1-0)) \\ & = \ text {exp} (\ beta) \ end {align} $$ qui est constante. Ainsi, le risque relatif de deux individus avec des valeurs de covariables différentes est indépendant du temps ou constant en tout temps . C'est une hypothèse inhérente au modèle de Cox (et à tout autre modèle à risques proportionnels).
Compte tenu de l'hypothèse, il est important de vérifier les résultats de tout ajustement pour s'assurer que l'hypothèse sous-jacente n'est pas violée. Si nous prenons la forme fonctionnelle de la fonction de survie définie ci-dessus et appliquons la transformation suivante, nous arrivons à:
$$ \ text {log} (- \ text {log} (S (t))) = \ text {log} (- \ text {log} (S_ {0} (t))) + \ beta X $$ Par conséquent, nous savons que si l'hypothèse de proportionnalité est vraie, la différence entre les courbes de covariable $ X = \ {0,1 \} $ doit être constant du montant $ \ beta $. Ainsi, les deux courbes seront parallèles mais l'une décalée vers le haut ou vers le bas de $ \ beta $.
Voici un exemple de ce que vous pourriez considérer comme une covariable satisfaisant les aléas proportionnels. 
Voici un exemple où il n'est pas si évident que l'hypothèse des risques proportionnels est satisfaite par la covariable. 
Il existe de nombreuses autres façons d'évaluer si l'hypothèse est satisfaite avec beaucoup de littérature disponible (@IWS vous oriente dans la bonne direction dans sa réponse). L'exemple ci-dessus est juste une belle façon d'illustrer le concept et exprime facilement ce point.