Il n'y a rien de "nécessaire" dans le facteur de $ \ frac {1} {2} $.Il est souvent utilisé, par commodité, pour des objectifs quadratiques de la forme $ \ frac {1} {2} x ^ TQx + g ^ Tx $ de sorte que la matrice $ Q $ finit par être le hessien de la fonction objectif.

Dans ce cas, les auteurs n'étaient pas cohérents entre ces deux problèmes.Le facteur de $ \ frac {1} {2} $ peut être absorbé dans (ajustement apporté à) $ \ lambda $ et aboutir à un problème équivalent, c'est-à-dire avoir le même argmin (mais pas la même valeur objective optimale).

Le facteur $ \ frac {1} {2} $ n'a manifestement aucune importance pratique et n'est qu'une remise à l'échelle. Pour voir cela, il suffit de multiplier la fonction objectif par $ 2 $, puis le lasso résout évidemment aussi le problème équivalent $$ \ beta_ {lasso} \ in \ arg \ min \ {\ sum_ {i = 1} ^ n (y_i- \ beta_0 - \ sum_ {j = 1} ^ p x_ {ij} \ beta_j) ^ 2 + \ lambda ^ * \ sum_ {j = 1} ^ p | \ beta_j | \} $$ où $ \ lambda ^ * = 2 \ lambda \ geq 0 $. Puisque le lasso est un problème d'optimisation convexe, les solutions aux problèmes seront identiques, de plus il existe une relation un-à-un entre $ \ lambda ^ * $ et $ \ lambda $. enfin, les deux problèmes de minimisation équivalents se traduisent par le même problème de minimisation contrainte (juste avec des $ \ lambda $ différents): $$ \ min _ {\ beta} \ sum_ {i = 1} ^ n (y_i- \ beta_0 - \ sum_ {j = 1} ^ p x_ {ij} \ beta_j) ^ 2 \ qquad st \ qquad \ sum_ {j = 1} ^ p | \ beta_j | \ leq t. $$

Le facteur $ \ frac {1} {2} $ est juste introduit par commodité, c'est-à-dire pour simplifier l'écriture au sein de l'analyse théorique du lasso. par exemple, les conditions KKT sont alors bien "mises à l'échelle", sinon vous emporteriez avec vous le facteur $ 2 $ de la dérivée de la somme quadratique pendant toute votre analyse.