Quelle est la grandeur attendue, c'est-à-dire la distance euclidienne de l'origine, d'un vecteur tiré d'une normale sphérique de p dimensions $ \ mathcal {N} _p (\ mu, \ Sigma) $ avec $ \ mu = \ vec { 0} $ et $ \ Sigma = \ sigma ^ 2 I $, où $ I $ est la matrice d'identité?
Dans le cas univarié, cela revient à $ E [| x |] $, où $ x \ sim \ mathcal {N} (0, \ sigma ^ 2) $. C'est la moyenne $ \ mu_Y $ d'une distribution normale pliée avec une moyenne $ 0 $ et une variance $ \ sigma ^ 2 $, qui peut être calculée comme suit:
$ \ mu_Y = \ sigma \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \, \, \ exp \ left (\ frac {- \ mu ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} \ right) - \ mu \, \ mbox {erf} \ left (\ frac {- \ mu} {\ sqrt {2} \ sigma} \ right) \ stackrel {\ mu = 0} {=} \ sigma \ sqrt {\ frac {2} {\ pi} } $
Puisque la normale multivariée est sphérique, j'ai pensé à simplifier le problème en passant aux coordonnées polaires. La distance de l'origine dans n'importe quelle direction ne devrait-elle pas être donnée par une distribution normale pliée? Pourrais-je intégrer sur toutes les distances, multiplier avec la probabilité (infinitésimale) de rencontrer un échantillon avec cette distance (par exemple CDF (rayon) -CDF (rayon-h), $ h \ rightarrow 0 $) et enfin faire le saut à plus de une dimension en multipliant par le "nombre de points" sur une hypersphère de dimension $ p $? Par exemple. $ 2 \ pi r $ pour un cercle, $ 4 \ pi r ^ 2 $ pour une sphère? Je pense que cela pourrait être une question simple, mais je ne sais pas comment exprimer analytiquement la probabilité pour $ h \ rightarrow 0 $.
Des expériences simples suggèrent que la distance attendue suit la forme $ c \ sqrt {\ sigma} $, mais je ne sais pas comment faire le saut vers une distribution multivariée. Au fait, une solution pour $ p \ le 3 $ conviendrait.