Question:
Création d'un a priori uniforme sur l'échelle logarithmique
Vass
2011-02-21 08:44:29 UTC
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Un a priori uniforme pour un paramètre d'échelle (comme la variance) est uniforme sur l'échelle logarithmique.

Quelle forme fonctionnelle cet a priori a-t-il sur l'échelle linéaire? Et pourquoi?

Trois réponses:
#1
+15
JMS
2011-02-21 11:27:08 UTC
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C'est juste un changement standard de variables; la transformation (monotone & 1-1) est $ y = \ exp (x) $ avec inverse $ x = \ log (y) $ et jacobien $ \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {y} $.

Avec un a priori uniforme $ p_y (y) \ propto 1 $ sur $ \ mathbb {R} $ on obtient $ p_x (x) = p_y (x (y)) | \ frac {dx } {dy} | \ propto \ frac {1} {y} $ sur $ (0, \ infty) $.

Edit: Wikipedia a un peu sur les transformations de variables aléatoires: http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function#Dependent_variables_and_change_of_variables. Un matériel similaire sera dans n'importe quel livre de probabilité d'introduction. "Probability" de Jim Pitman présente le matériel d'une manière assez distinctive ainsi que l'IIRC.

En ajoutant simplement à la réponse d'@JMS, une excellente référence à vérifier est ** l'inférence bayésienne dans l'analyse statistique ** par Box et Tiao. Il présente également des idées conceptuelles derrière lui.
#2
+2
probabilityislogic
2011-03-27 14:09:00 UTC
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La réponse @JMS est adéquate pour les écrous et les boulons des variables changeantes. Cependant, Cette question peut vous aider un peu à comprendre pourquoi elle est uniforme sur cette échelle.

Ma réponse à cette question passe par une dérivation légèrement plus longue du résultat "règle jacobienne" donné dans la réponse de @ JMS. Cela peut aider à comprendre pourquoi la règle s'applique.

+1 pour les références supplémentaires. Ma dérivation préférée pour la formule de changement de variables commence par le cdf, comme dans votre autre réponse.
@JMS - la règle cdf est la seule avec laquelle je ne me trompe pas, j'ai généralement du mal à me souvenir si c'est $ \ frac {dy} {dx} $ ou $ \ frac {dx} {dy} $ avec le jacobien
idem pour moi - Pitman donne une belle explication géométrique, c'est pourquoi je l'ai référencée dans ma réponse, mais je ne m'en souviens jamais quand ça compte :) Quand j'ai TA une classe de probabilité, nous avons utilisé ce texte et certains étudiants ont trouvé c'est très utile.
#3
+2
Ioana Zelko
2019-06-29 00:16:14 UTC
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On nous dit que le paramètre d'échelle est uniforme sur l'échelle logarithmique. Cela signifie que si x est le paramètre d'échelle, alors $ y = \ log () $ et la fonction de distribution pour $ y $ est l'uniforme sur l'échelle logarithmique, $ p_Y (y) \ propto 1 $ .

Ensuite, en appliquant la transformation jacobienne qui vient du fait que la probabilité contenue dans une zone différentielle doit être invariante sous changement de variables, il faut avoir que $ p_X () = p_Y (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ . Puisque $ \ frac {dy} {dx} \ propto \ frac {1} {x} $ , nous obtenons $ p_X () \ propto \ frac {1} {x} $ .

Remarque: j'ai essayé de publier ceci sous forme de commentaire mais je n'ai pas les privilèges pour publier des commentaires car je suis un nouvel utilisateur. La réponse actuellement acceptée à la question (donnée par @JMS) contient des erreurs. J'ai essayé de modifier la réponse donnée par @JMS pour apporter les modifications minimales nécessaires, mais ma modification a été rejetée car les gens voulaient que je la mette en commentaire ou en réponse. Premièrement, $ p _ () $ devrait finir par être une fonction de $ x $ , pas une fonction de y. La façon dont la réponse de @ JMS est formulée en ce moment donne $ p_X (x) \ propto \ frac {1} {y} $ . Deuxièmement, il y a une erreur dans la formulation jacobienne, elle devrait être $ p_X () = p_Y (y (x)) | \ frac {dy} {dx} | $ span >; actuellement, il est donné comme $ p_X () = p_Y (x (y)) | \ frac {dx} {dy} | $ . Troisièmement, $ y = \ log () $ , et non $ y = \ exp (x) $ , pour la raison expliquée dans cette réponse.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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