Si vous recherchiez la distance par rapport à la valeur suivante ci-dessus, et si vous avez inséré une valeur supplémentaire à $ 1 $ donc cela avait toujours une réponse, alors utilisezsymétrie de rotation la distribution de ces distances $ D $ serait la même que la distribution du minimum de $ n + 1 $ variables aléatoires uniformes indépendantes sur $ [0,1] $ .

Cela aurait $ P (D \ le d) = 1- (1-d) ^ {n + 1} $ et donc la densité $ f (d) = (n + 1) (1-d) ^ n $ quand $ 0 \ le d \ le 1 $ .Pour les grands $ n $ et les petits $ d $ , cette densité peut être estimée par $ f (d) \ approx ne ^ {- nd} $ , expliquant la forme exponentielle que vous avez repérée.

Mais votre question est un peu plus compliquée, car vous êtes intéressé par la distance signée à la valeur la plus proche au-dessus de ou ci-dessous. Comme le montre votre lien Wikipédia, le minimum de deux i.i.d. variables aléatoires exponentielles avec taux $ \ lambda $ est une variable aléatoire exponentielle avec taux 2 $ \ lambda $ . Vous devez donc changer l'approximation de la densité pour refléter à la fois le taux doublé et la possibilité de valeurs négatives de $ d $ . L'approximation devient en fait une distribution de Laplace avec $$ f (d) \ approx ne ^ {- 2n | d |} $$ en vous rappelant que c'est pour les grands $ n $ et petit $ d $ (en particulier la densité réelle est $ 0 $ à moins que $ - \ frac12 \ lt d \ lt \ frac12 $ ). Lorsque $ n $ augmente, cela concentre la quasi-totalité de la densité à $ 0 $ comme dans la réponse de Bayequentist à la limite d'une distribution delta de Dirac

Avec $ n = 10 ^ 6 $ , l'approximation de la densité ressemblerait à ceci, correspondant à la forme de vos données simulées.

Lorsque $ N \ to \ infty $ , $ L_N $ contient tous les nombres réels dans $ (0,1) $ .Ainsi, la distance entre n'importe quel nombre de $ (0,1) $ et le nombre le plus proche de $ L_N $ span> s'approchera de 0 lorsque $ N \ to \ infty $ .La distribution des distances se rapproche de la distribution delta de Dirac comme $ N \ à \ infty $ .

Voici quelques simulations:

Voici un extrait de code:

  n <- 100000
Ln <- runif (n)

nSim <- 10000
distances <- rep (0, nSim)
for (i in 1: nSim) {
  b <- runif (1)
  distances [i] <- min (abs (Ln-b))
}
hist (distances, main = "N = 100000")
 

Y a-t-il un moyen de déterminer ce qu'est exactement cette distribution (pour un N grand mais fini)?

La différence entre deux variables aléatoires uniformes standard est triangulaire (-1,0,1) avec pdf $ 1- | x | $ défini sur $ (- 1,1) $ .

La distance est la valeur absolue de la différence qui a pdf dire $ f (x) $ :

Répéter l'exercice $ n $ fois et prendre la distance minimale équivaut à trouver le $ (1 ^ { \ text {st}}) $ ordre statistique par rapport au pdf parent $ f (x) $ , qui est donné par:

où j'utilise la fonction OrderStat du package mathStatica pour Mathematica pour automatiser les détails, et où le domaine de support est (0,1). La solution a une distribution Power Function avec pdf de la forme $ g (x) = a x ^ {a-1} $ .

Le diagramme suivant compare un tracé du pdf exact de la distance minimale juste dérivée $ g (x) $ (courbe en pointillés rouges) ... à un Monte Simulation de Carlo (courbe bleue ondulée), lorsque la taille de l'échantillon est $ n = 10 $ :

Simulation : Comme vous utilisez Mathematica pour la simulation, voici le code que j'utilise pour la simulation de données dans Mathematica :

  data = Table [Min [Abs [RandomReal [{}, 10] - RandomReal []]], 20000];
 

Pour que vous obteniez un nombre supérieur à $ d $ comme résultat, tous les nombres de votre échantillon doivent être $ d $ loin de $ b $ . La probabilité que cela se produise pour tout individu $ x_0 $ est simplement la masse de probabilité en dehors de la plage $ b \ pm d $ . Appelez cela $ p_ {outside} $ . La probabilité que cela se produise pour tous les $ x_i $ de votre échantillon est $ (p_ {outside}) ^ N $ span>. Si $ x_i $ est choisi uniformément à partir de l'intervalle unitaire, alors $ p_ {outside} $ pour $ b $ plus de $ d $ de la limite sera 1 $ -2d $ , et cela donne $ p_ {extérieur} ^ N = (1-2d) ^ N $ . Pour les grands $ N $ et les petits $ d $ , qui peuvent être approximés par $ e ^ {- 2Nd} $ .

Imaginez que vous dessinez d'abord le dernier et que vous le notez X. Cela ne change pas du tout la formulation du problème. Pour tout $ X_i \ in L_N, i = 1, ..., N $ , nous savons que $ Y_i: = | X-X_i | $ a une certaine distribution (vous pouvez ou non vouloir calculer cela) et que $ Y_i $ est iid donné $ X $ . De Wikipédia, nous savons que le CDF de leur minimum est $$ F_ {min} (y) = 1 - [1-F_Y (y)] ^ N. $$

Pour tout $ y $ fixe, nous connaissons $ F_Y (y) > 0 $ pour tout $ y > 0 $ et $ F (y) = 0 $ sinon. Prenez $ N \ à \ infty $ et vous obtenez un CDF qui est identique pour $ y > 0 $ span > et à l'identique zéro sinon. Il s'agit d'une fonction delta centrée sur zéro, comme toutes les simulations ci-dessus le montrent. Cela vaut pour tout $ x \ in (0,1) $ donc la convergence est toujours valable (bien qu'avec des taux de convergence variables, peut-être).