$$ T = 7/3 + (8 + T) / 3 + (12 + T) / 3 = 9 + 2T / 3 $$ $$ T / 3 = 9 $$ $$ T = 27 $$ À partir du point de départ, chacun des 3 chemins est également possible.Deux chemins vous ramènent au point de départ.

Pour répondre à cette question, vous devez additionner tous les chemins possibles que la fourmi peut emprunter et obtenir la durée de ce chemin, multipliée par la probabilité de prendre ce chemin. C'est, $$ E [T] = \ sum _ {\ text {chemin} \ in \ text {chemins possibles}} p (\ text {chemin}) T (\ text {chemin}) $$

Chaque chemin possible prend Passage $ A $ une seule fois, mais peut prendre des passages $ B $ et $ C $ n'importe quel nombre de fois, dans n'importe quelle permutation. Ainsi les chemins possibles peuvent être $ A $ , $ BA $ , $ BBCCA $ , $ BCCBA $ , etc.

Supposons les probabilités de choisir des passages $ A, $ $ B, $ et $ C, $ sont $ p_a $ , $ p_b $ , et $ p_c $ respectivement. Ensuite, par exemple, la probabilité d'emprunter le chemin $ CBBCCA $ est $ p_a p_b ^ 2 p_c ^ 3. $ span> Et, car il existe $ {5 \ choose 2} = 10 $ façons de prendre $ B $ span > deux fois et $ C $ trois fois, la contribution du temps de chemin attendu donné par la possibilité de 3 $ C $ s et 2 $ B $ s est 10 $ p_a p_b ^ 2 p_c ^ 3 (T_a + 2 T_b + 3 T_c) $ , où $ T_a $ , $ T_b $ et $ T_c $ sont respectivement les temps de chemin de chaque passage.

Ce qui précède donne la contribution au temps prévu pour prendre deux $ B $ et trois $ C $ span> s avant $ A $ . Mais en général, vous devez additionner sur la contribution temporelle attendue de toutes les combinaisons possibles de chemins $ B $ et $ C $ avant $ A $ Je vais le faire ci-dessous, mais je vous suggère de vous arrêter ici et de l'essayer vous-même d'abord.

SPOILER

En général, la fourmi peut prendre un passage non - $ A $ n'importe quel nombre de fois entre zéro et l'infini avant de prendre le passage $ A $ , et pour ce nombre de fois, il peut s'agir de n'importe quelle combinaison de passages $ B $ et $ C $ . Donc, pour obtenir le temps de chemin attendu, nous résumons la contribution de toutes les possibilités de passage, multipliée par leur temps, ce qui ressemble à,

$$ E [T] = T_a + p_a \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ sum_ {i = 0} ^ n {n \ choose i} p_b ^ i p_c ^ {ni} [i T_b + (ni) T_c] . $$

Ces sommes peuvent être évaluées. En utilisant le théorème binomial et en prenant le dérivé, vous pouvez montrer que, $$ \ sum_ {i = 0} ^ n i {n \ choisissez i} x ^ i y ^ {n-i} = n x (x + y) ^ {n-1} $$ et

$$ \ sum_ {i = 0} ^ n (n-i) {n \ choose i} x ^ i y ^ {n-i} = n y (x + y) ^ {n-1}. $$

En utilisant ces identités, nous obtenons

$$ E [T] = T_a + p_a (p_b T_b + p_c T_c) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty n (p_b + p_c) ^ {n-1}. $$

En prenant la dérivée de la somme de la fameuse série géométrique, vous pouvez montrer que, pour $ | x | < 1 $ ,

$$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty n x ^ {n-1} = \ frac {1} {(1 - x) ^ 2}. $$

En notant que $ 1 - (p_b + p_c) = p_a $ , nous obtenons,

$$ E [T] = T_a + \ frac {1} {p_a} (T_b p_b + T_c p_c). $$

Si nous prenons $ p_a = p_b = p_c = 1/3 $ et vos valeurs pour les temps, nous obtenons $ E [T] = T_a + T_b + T_c $ soit 27 minutes.

Bonjour donkordr et bienvenue sur CV.
Non, la moyenne ne répond malheureusement pas à la question.

Vous pouvez lire votre problème comme une chaîne de Markov avec deux états: bois et fourmilière.
Maintenant, vos probabilités de transition sont:

• De la forêt: (peu importe car c'est l'objectif) $ p = 1 $ pour rester dans la forêt
• De la maison des fourmis: $ p_1 = \ frac {2} {3} $ pour rester chez les fourmis et $ p_2 = \ frac {1} {3} $ pour aller dans les bois

Nous voulons savoir combien de mouvements il faut en moyenne pour atteindre les bois - et vous pouvez le faire comme expliqué ici

Il en résulte une moyenne de 3 mouvements.
De ces 3 mouvements, un et un seul sera celui menant aux bois, tandis que le reste sera l'un des autres. Le temps moyen d'un mouvement qui ne va pas dans les bois est de $ (8 + 12) / 2 = 10 $ minutes.

En conséquence, le temps moyen avant d'atteindre les bois est de 27 $ minutes: 7 $ $ de la dernière étape, et $ 2 \ cdot10 $ des précédentes.

PS - il existe d'autres moyens de faire ce calcul avec des états intermédiaires qui pourraient être plus propres, mais cela semblait assez facile.

Permettez-moi de vous joindre à une explication qui, pour moi du moins, me semble encore plus simple:

Tout d'abord, observez que les chemins $ B $ et $ C $ peuvent être joints en un seul chemin $ X $ , avec le temps de passage égal aux temps moyens de $ B $ et de $ C $ , soit $ 10 $ minutes. Cela est dû au fait que ces chemins ont la même probabilité. Sinon, nous aurions besoin de prendre une moyenne pondérée. La probabilité de prendre le chemin $ X $ est la somme des probabilités de prendre soit le chemin $ B $ ou $ C $ : $ P (X) = P (B) + P (C) = 2/3 $ .

Maintenant, il existe les moyens suivants pour se rendre dans les bois:

$$ \ begin {array} {lrr} i & \ text {chemin} _i & P (i) & T (i) \\ \ hline 0 & A & 1/3 & 7 \\ 1 & XA & 2/3 \ cdot 1/3 & 10 + 7 \\ 2 & XXA & (2/3) ^ 2 \ cdot 1/3 & 20 + 7 \\ 3 & XXXA & (2/3) ^ 3 \ cdot 1/3 & 30 + 7 \\ & ... & \\ i & (i \ cdot X) A & (2/3) ^ i \ cdot 1/3 & 10 \ cdot i + 7 \ end {array} $$

et l'heure prévue est:

$$ \ begin {array} {lcl} E (T) & = & \ sum_ {i = 0} ^ \ infty P (i) T (i) \\ & = & 1/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ left (10 \ cdot i + 7 \ right) \ cdot (2/3) ^ i \\ & = & 10/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot (2/3) ^ i + 7/3 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ \ infty (2/3) ^ i \\ & = & 10/3 \ cdot 6 + 7/3 \ cdot 3 \\ & = & 27 \\ \ end {array} $$

Méthode typique pour résoudre ce problème:

La fourmi prendra le chemin a et terminera ou prendra le chemin b ou c et sera de retour dans sa position de départ.

Soit $ k $ le nombre de fois où la fourmi a déjà emprunté le chemin b ou c. Soit $ T_k $ la valeur attendue pour le temps de fin pour une fourmi qui a déjà pris $ k $ fois le chemin. Ensuite, la valeur d'espérance pour une fourmi avec des étapes $ k $ peut être exprimée en termes d'une fourmi avec $ k + 1 $ étapes.

$$ T_k = \ underbrace {\ frac {1} {3} 7} _ {\ substack {\ frac {1} {3} e \ text {chance de terminer avec le chemin} \\ \ text {a dans 7 minutes}}} + \ underbrace {\ frac {1} {3} (T_ {k + 1} + 8)} _ {\ substack {\ frac {1} {3 } th \ text {chance de terminer avec le chemin b} \\ \ text {dans 8 minutes} \\ \ text {plus ce dont fourmi $ k + 1 $ a besoin en moyenne}}} + \ underbrace {\ frac {1} { 3} (T_ {k + 1} +12)} _ {\ substack {\ frac {1} {3} e \ text {chance de terminer avec le chemin c} \\ \ text {dans 12 minutes} \\ \ text {plus ce dont fourm $ k + 1 $ a besoin en moyenne}}} $$

Puisque les fourmis sont dans la même position de départ indépendamment de l'historique (nombre de pas $ k $ ) le temps moyen est (vous avez $ T_k = T_ {k + 1} $ que vous pouvez utiliser pour résoudre l'équation ci-dessus):

$$ T_k = \ frac {1} {3} 7+ \ frac {1} {3} (8 + T_k) + \ frac {1} {3} ( 12 + T_k) $$

et après quelques réarrangements

$$ T_k = 7 + 8 + 12 = 27 $$

En utilisant une moyenne

Vous pouvez résoudre ce problème avec une moyenne, en quelque sorte.

• La fourmi termine au moins avec le chemin a qui prend au moins 7 minutes
• De plus, la fourmi a 2/3 de probabilité d'emprunter les chemins b ou c (à chaque fois) qui prennent en moyenne $ \ frac {8 + 12} {1 + 1} = 10 $ minutes.

Le temps moyen pendant lequel la fourmi emprunte les chemins b ou c est:

$$ 1 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) + 2 \ cdot \ frac {1} {3 } \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 2 + 3 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 3 + 4 \ cdot \ frac {1} {3} \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ 4 + .... = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty k \ cdot \ frac {1} {3} \ gauche (\ frac {2} {3} \ droite) ^ k = 2 $$

notez que cela est lié à une distribution géométrique et le nombre moyen d'étapes supplémentaires dont la fourmi a besoin est de 2 (et chaque étape prend en moyenne 10 minutes). Donc la fourmi prendra (en moyenne):

$$ \ text {7 $ minutes $ + $ 2 fois $ \ times $ 10 $ minutes $ = 27 $ minutes} $$

Fait intéressant: vous pouvez également dire que la durée moyenne d'une étape unique est de 9 $ $ minutes (ce que vous avez calculé), et la moyenne le nombre de pas est 3 $ $ , donc la fourmi prend 3 $ \ times 9 = 27 $ minutes (vous étiez pas très loin de la solution).

Commentant le post de @Igor F. (pas assez de réputation dans ce sous-forum pour simplement commenter):

Les deux termes sont des séries géométriques:

$ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot (\ frac {2} {3}) ^ i \ overset {q = 2/3} {=} \ sum_ {i = 0} ^ \ infty i \ cdot q ^ i = q \ frac {d} {dq} \ sum_ {i = 0} ^ \ infty q ^ i = \ frac {q} {(1-q) ^ 2}, \ text {pour} | q | <1 $ , donc pour $ q = \ frac {2} {3} $ ceciéquivaut à 6 $ $ .

$ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty (\ frac {2} {3}) ^ i $ est juste une série géométrique infinie de base et nousavoir $ \ sum_ {i = 0} ^ \ infty c \ cdot q ^ i = \ frac {c} {1-q}, \ text {avec constante} c \ text {et} | q | <1 $ , qui est 3 $ $ pour $ q = \ frac {2} {3} $ et $ c = 1 $ .

Il faut toujours 7 $ min pour réussir, ce qui se produit une fois. Il faut en moyenne 10 $ min pour échouer. La probabilité d'échec est $ 2/3 $ à chaque essai, ou $ (2/3) ^ n $ span> pour n essais. Le temps total est donc de ( 7 $ + 10 \ cdot \ sum_n (2/3) ^ n $ ) min. Soit $ 7 $ min + $ 2 \ cdot 10 $ min $ = 27 $ .