P (HHHHH) est la probabilité d'avoir cinq têtes d'affilée.Mais, P (H | HHHH) signifie avoir des têtes si les quatre derniers lancers étaient des têtes.Dans le premier, vous êtes au début de l'expérience et dans le second, vous avez déjà effectué quatre lancers et connaissez les résultats.Pensez aux reformulations suivantes:

P (HHHHH): Si vous deviez recommencer l'expérience, quelle serait la probabilité d'avoir cinq têtes?

P (H | HHHH): Si vous deviez commencer l'expérience mais continuer à la redémarrer jusqu'à ce que vous ayez quatre têtes d'affilée, puis, étant donné que vous avez quatre têtes, quelle serait la probabilité d'avoir la dernièrecomme chefs?

P (HHHHH)

Il y a 32 résultats possibles en jetant une pièce 5 fois. Ici, ils sont répertoriés:

  HHHHH THHHH HTHHH TTHHH HHTHH THTHH HTTHH TTTHH
HHHTH THHTH HTHTH TTHTH HHTTH THTTH HTTTH TTTTH
HHHHT THHHT HTHHT TTHHT HHTHT THTHT HTTHT TTTHT
HHHTT THHTT HTHTT TTHTT HHTTT THTTT HTTTT TTTTT
 

Tous ces résultats sont également probables. Ainsi, la probabilité de l'une de ces séquences est de 1/32 = 0,03125. C'est pourquoi P (HHHHH) = .03125.

P (H | HHHH)

Nous examinons maintenant les résultats possibles d'un tirage au sort single , après avoir observé 4 têtes d'affilée. Les deux seuls résultats possibles de ce flip unique, ce sont bien sûr les suivants:

  H
T
 

Puisque les lancers de pièces sont supposés indépendants, le fait que nous venons d'observer 4 têtes d'affilée n'est pas pertinent, c'est donc la même chose que de considérer P (H), la probabilité de têtes pour un seul tirage, indépendamment de ce a été juste observée. C'est pourquoi P (H | HHHH) = 0,5.

Souvent, il est utile de faire des conditions en termes d'informations:

$$ \ mathbb {P} [H | HHHH] $$

peut être lu comme "La probabilité d'obtenir des têtes, étant donné que j'ai déjà 4 têtes", c'est-à-dire étant donné le information qu'il y a déjà 4 têtes .

Bien sûr, on nous dit que les tirages au sort sont indépendants, donc cette information n'est pas utile - les lancers passés n'ont rien à voir avec les lancements à venir, c'est-à-dire que cette information ne nous dit rien sur la probabilité de l'événement à venir . Donc (puisqu'il s'agit d'une pièce de monnaie équitable), $ \ mathbb {P} [H | HHHH] = 0,5 $

On peut considérer l ' absence de condition comme étant le manque d'information , donc $ \ mathbb {P} [H] $ est "la probabilité de têtes, sans autre information", et

$$ \ mathbb {P} [H | HHHH] = \ mathbb {P} [H] $$

est une reformulation de ce qui précède - la probabilité d'obtenir des têtes étant donné que nous avons déjà 4 têtes est la même que la probabilité d'avoir des têtes sans autre information.

Enfin on peut voir ainsi

$$ \ mathbb {P} [HHHHH] $$

Comme "la probabilité de 5 têtes, sans autre information". Cela signifie que nous ne connaissons pas encore le résultat des lancers (puisque ces résultats compteraient comme des informations), et là nous obtenons notre $ \ mathbb {P} [HHHHH] = \ frac1 {32} $ - de tous les $ 2 ^ 5 $ résultats possibles de 5 lancers (à partir du moment où nous ne connaissons pas encore de résultats) , il n'y en a qu'un où tous les lancers sont H.

La notation qui n'indexe pas les lancers de pièces et / ou leurs résultats (et ne sépare même pas les résultats par des virgules ou des signes d'intersection) peut prêter à confusion.Comment savoir à quelle pièce chaque $ H $ fait référence dans $ P (H | HHHH) $ ou $ P (HHHHH) $ ?On peut souvent deviner, mais c'est inutilement ambigu.

Indexons les lancers de pièces et leurs résultats par des nombres naturels.Étant donné que la pièce n'a pas de mémoire, on espère plus clairement pourquoi $$ P (H_1 | H_1, H_2, H_3, H_4) = 1, $$ mais $$ P (H_5 | H_1, H_2, H_3, H_4) = 0,5 $$ et $$ P (H_1, H_2, H_3, H_4, H_5) = 0,03125. $$

Je vous suggère d'exécuter une simulation, et view la distribution conditionnelle comme filtre d'application sur data.

Plus précisément, vous pouvez

1. simulation d'une grande quantité de (disons 5 millions) de tirages de pièces sur 5 justes pièces
2. essayez de trouver les 4 premières pièces, les résultats sont HHHH
3. sélectionnez un sous-ensemble de données selon les 4 premières pièces de monnaie: les résultats sont HHHH
4. vérifiez la distribution de la 5e pièce.

Vous pouvez trouver qu'il est proche de 0,5.

Monnaie indépendante équitable

La probabilité d'événement a (le 5ème cas est heads $ H_5 $ ) étant donné l'événement b (déjà 4 têtes $ H_4H_3H_2H_1 $ )

$$ \ underbrace {P (H_5 | H_4H_3H_2H_1)} _ {\ text {P (un b donné)}} = \ frac {\ overbrace {P (H_5 \ & H_4H_3H_2H_1)} ^ {\ text {P (a et b)}}} {\ underbrace {P (H_5 \ & H_4H_3H_2H_1)} _ {\ text {P (a et b)}} + \ underbrace {P (T_5 \ & H_4H_3H_2H_1)} _ {\ text {P ((pas a) et b)}}} $$

Pour une pièce équitable, vous avez $ P (T_5H_4H_3H_2H_1) = P (H_5H_4H_3H_2H_1) = 0,5 ^ 5 $ . Et l'équation ci-dessus sera

$$ {P (H_5 | H_4H_3H_2H_1)} = \ frac {0,5 ^ 5} {0,5 ^ 5 + 0,5 ^ 5} = 0,5 $$

Avec une pièce juste qui est également indépendante (notez que nous pouvons avoir $ p_ {heads} = p_ {tails} $ mais cela ne signifie pas nécessairement que les flips sont indépendants), vous devriez obtenir le résultat ci-dessus. Mais ce n’est pas le résultat général .

Pièce injuste (ou pièce avec des flips non indépendants)

Mais si la pièce est peut-être injuste ou n'est pas indépendante d'un tour à l'autre, cela peut ne pas être vrai. Sur la base d'une distribution de probabilité supposée pour l'équité de la pièce, vous pouvez calculer différentes valeurs pour $ P (T_5H_4H_3H_2H_1) $ et $ P (H_5H_4H_3H_2H_1) $ .

Dans le cas le plus général (la pièce n'est pas forcément juste), vous pourriez obtenir cela avec déjà quatre têtes, $ P (H_5 | H_4H_3H_2H_1) >P (H_5) $ span >

Je vois deux explications:

1: (Identique à celui déjà publié, mais spécifique aux têtes et queues de pièces justes) Parce qu'il n'y a que deux possibilités, H et T, P (H | HHHH) est le même que P (HHHHH) / (P (HHHHH) + P (HHHHT)) P (HHHHH) = .5 ^ 5 et P (HHHHT) = .5 ^ 5, donc P (H | HHHH) = .5 ^ 5 / (. 5 ^ 5 + .5 ^ 5) = .5 ^ 5 /(2 * (. 5 ^ 5)) = 1/2

2: P (HHHHH) est toute l'histoire, P (H | HHHH) n'est que le dernier chapitre.

La probabilité d'arriver à HHHHH après 5 flips est de (1/2) ^ 5 car chaque flip a une probabilité inconditionnelle de 1/2, comme indiqué.Le paradoxe de P (H | HHHH) représenté par (1/2) est lié au fait d'ignorer la probabilité d'entrer dans un état de HHHH après 4 flips avant de regarder le flip suivant.En conclusion, 1/2 semble étonnamment élevée d'une probabilité pour P (H | HHHH) sans considérer que la probabilité d'atteindre un état de HHHH est faible ((1/2) ^ 4) en premier lieu.

$ P (H | \ text {n'importe quoi}) = P (H) = 0,5 $ La probabilité que le tirage au sort d'une bonne pièce soit des "têtes" est la moitié, inconditionnellement, quels que soient les autres événements qui se sont produits précédemment ou en même temps.

La $ | $ notation de probabilité conditionnelle $ P (A | B) $ exprime principalement la probabilité sur $ A $ . Le $ B $ donne la condition qui modifie la signification de $ P (A) $ du point de vue de situation $ B $ étant vraie.

$ P (A | B) $ peut être considéré comme un macro-opérateur selon cette définition:

$$ P (A | B) \ equiv \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$

Par conséquent, si nous substituons nos paramètres d'intérêt:

$$ P (H | HHHH) \ equiv \ frac {P (H \ cap HHHH)} {P (HHHH)} $$

Mais $ P (H \ cap HHHH) $ signifie simplement la probabilité de lancer quatre têtes, puis une de plus: cela signifie exactement la même chose que $ P (HHHHH) $ . En fait, $ P (HHH ...) $ est un raccourci pour $ P (H \ cap H \ cap H ...) $ . Ainsi:

$$ P (H | HHHH) \ equiv \ frac {P (H \ cap HHHH)} {P (HHHH)} \ equiv \ frac {P (HHHHH)} {P (HHHH)} $$

C'est la probabilité de lancer cinq têtes, divisée par la probabilité de lancer quatre têtes. Puisque les tirages au sort sont indépendants et que leurs probabilités sont multipliées ensemble, c'est juste:

$$ \ frac {(1/2) ^ 5} {(1/2) ^ 4} = 1/2 = P (H) $$

Il peut être utile de penser à ces événements indépendants comme les étapes individuelles utilisées pour escalader une montagne. Chaque étape ne vous mène qu'à un pas de la montagne. Pourtant, bien que ces étapes soient les mêmes en distance et en effort, chaque étape suivante vous fait également monter plus haut.

Comment se fait-il que ma dernière étape dans la montagne puisse m'amener jusqu'au sommet, alors que je ne fais encore qu'un pas? Vous ne dépensez toujours qu'une fraction d'énergie? Bien sûr, c'est parce que toutes les étapes précédentes ont créé une situation où une ou plusieurs étapes exactement identiques me permettraient d'atteindre le sommet.

Lors du retournement de pièces, chaque tirage de pièces a 50% de chances de vous amener un flip plus près de votre objectif. Cette chance de 50%, en cas de succès, ne vous achète qu'une seule "tête" de plus pour en obtenir 5 d'affilée. Un pas de plus. Et c'est toujours une chance de 50%. Cependant, si vous avez déjà connu un ensemble assez rare de quatre d'affilée, cette étape supplémentaire (qui est comme le reste) complétera l'ensemble de 5 d'affilée ... Si cela se produit. . Ce qu'il fera, exactement 50% du temps.

J'espère que cela vous aidera.

Les observations sont indépendantes, les tirages précédents n'affectent donc pas le tirage suivant.Ainsi P (H) = P (T) = 0,50 si vous avez vu THTHH au préalable ou H au préalable ou TTTHHH au préalable.Ce que vous avez réellement vu en dernier n'affecte pas le prochain tirage.Si l’événement précédent n’a pas encore été vu, vous n’avez pas affaire à une probabilité conditionnelle.

C'est également vrai quand on regarde vers l'avenir.Parce que chaque tirage n'a pas d'impact sur son successeur, vous devez multiplier les probabilités de résultats.C’est ainsi que vous obtenez P (TH) = 0,25 mais P (T | H) = 0,50.

La probabilité conditionnelle est la probabilité que quelque chose se produise étant donné que quelque chose s'est déjà produit - accent mis sur le passé.