Je ne pense pas que Var $ (Z) \ le $ Var $ (X) $. Imaginons que $ X $ soit une série temporelle qui serpente autour de valeurs proches de 100, presque toujours entre 98 et 102. Maintenant, imaginez que $ Z $ serpente entre 0 et 100, mais est toujours inférieur à $ X $. La variance de $ Z $ va clairement être plus grande dans un tel cas que la variance de $ X $. Ceci est un exemple où $ X $ et $ Z $ sont stationnaires autour de certaines constantes, mais il pourrait facilement être étendu à un exemple de tendance stationnaire ... Je ne suis pas sûr si cela s'étendrait à des séries temporelles intégrées ... il faut réfléchir à ce sujet.

Pour le cas général, la réponse est non. Pour les cas spécifiques, c'est aussi non.

Un exemple de compteur simple est de prendre $ y \ sim U (0,1) $ et de prendre $ x \ sim Gamma (a, a) $ tel que nous ont $ E (x) = 1 $ et $ var (x) = a ^ {- 1} $. Prenons $ x $ et $ y $ comme indépendants, et nous avons:

$$ var (z) = E [var (z | y)] + var [E (z | y)] = E [y ^ 2a ^ {- 1}] + var [y] = var (y) + E (y ^ 2) a ^ {- 1} = \ frac {1} {12} + \ frac {1} {3 } var (x) = var (x) \ frac {a + 4} {12} $$

Maintenant, nous choisissons simplement n'importe quelle valeur pour $ a $ telle que $ a> 8 $ et nous aurons $ var (z) > var (x) $

Clairement non.

Un contre-exemple simple (ici fait en R), qui, je pense, satisfait toutes vos contraintes:

  set.seed (239843) x = rnorm (100,100,1) y = rep (c (0,01,0,99), fois = 50) z = x * y var (x) [1] 0.8413043var (y) [1] 0.2425253 var (z) [1] 2425.296  

Que se passe-t-il:

1. x est une série de moyenne 100 et sd 1.

2. y alterne entre 0,01 et 0,99.

3. z = xy alterne donc entre (about) 1 et 99, mais est toujours $ <x $

Question alternative [plus générale]) En supposant des variances finies, est-il vrai que pour toute variable aléatoire a et b telle que 0≤a≤b, on a var (a) ≤var (b)?

Encore plus clairement non; sans avoir besoin d'une variable comme "y", c'est assez évident:

Considérons un ensemble de valeurs qui alterne entre 1 et 99, et un second qui alterne entre 100 et 101.

Ajout de la nouvelle condition que X et Y ont une covariance positive:

  set.seed (239843) oldx = rnorm (100,100,1) y = rep (c (0,01, 0.99), times = 50) x = oldx + y # oldX et Y sont indépendants, donc X et Y ont maintenant une covariance + ve z = x * y cov (x, y) [1] 0.2739745 # la covariance de l'échantillon se trouve être positive dans ce cas aussi var (x); var (y); var (z) [1] 1.065326 [1] 0.2425253 [1] 2481.243  

Si vous trouvez les réponses pour ce cas algébriquement (calculez les variances de population et la covariance de population pertinente), vous verrez qu'il ne s'agit pas simplement d'un accident numérique dû à un choix chanceux de semences.

Soyons clairs, la "variance" en discussion semble être une variable aléatoire dérivée d'une partie finie d'une série chronologique. Plus précisément, le moment brut $ k ^ \ text {th} $ de $ \ mathrm {X} = (X_1, X_2, \ ldots, X_N) $ est

$$ \ mu_k (\ mathrm {X }) = (X_1 ^ k + X_2 ^ k + \ cdots + X_N ^ k) / N, $$

qui est une variable aléatoire, et la variance est

$$ \ text {var} (\ mathrm {X}) = \ mu_2 (\ mathrm {X}) - \ mu_1 ^ 2 (\ mathrm {X}), $$

qui est aussi une variable aléatoire.

De même, nous pouvons définir des moments $ \ mu_ {jk} $ de la série bivariée $ (X_i, Y_i) $ et à partir de ceux-ci calculer une covariance. Toutes ces définitions ont du sens même lorsque l'une ou l'autre des séries est constante (bien que les moments et la variance puissent se réduire à des nombres plutôt qu'à des variables aléatoires).

Pour montrer que des contre-exemples existent même lorsque $ X $ et $ Y $ ont une covariance positive, laissez le $ Y_i $ être borné par $ 0 $ et $ 1 $, laissez $ \ mathrm {Y} $ avoir une variance non nulle, choisissez $ 0 \ lt \ varepsilon \ lt 1 $, et définissez

$$ X_i = 1 + \ varepsilon Y_i \ ge 0. $$

Par construction, il existe une corrélation (unitaire) parfaite entre chaque $ X_i $ et $ Y_i $ ainsi qu'entre $ \ mu_k (\ mathrm {X}) $ et $ \ mu_k (\ mathrm {Y}) $ pour tout $ k \ gt 0 $; les covariances sont certainement positives.

Pourtant, puisque $ Z_i = X_iY_i = Y_i + \ varepsilon Y_i ^ 2 $,

$$ \ text {Var} (\ mathrm {Z} ) = \ text {Var} (\ mathrm {Y}) + 2 \ varepsilon \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 3) + \ varepsilon ^ 2 \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 4) \ gt \ text { Var} (\ mathrm {Y}) \ gt \ varepsilon ^ 2 \ text {Var} (\ mathrm {Y}) = \ text {Var} (\ mathrm {X}), $$

réfutant la conjecture de la question.

La même analyse (couplée au fait que $ \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 4) \ lt \ mu_1 (\ mathrm {Y} ^ 2) $) démontre que pour $ \ varepsilon \ gt 1 $ suffisamment grand, l'inégalité doit être inversée. Il n'y a donc pas d'inégalité nécessaire entre $ \ text {Var} (\ mathrm {X}) $ et $ \ text {Var} (\ mathrm {Z}) $.

Supposons que les processus $ \ {X \} $ et $ \ {Y \} $ sont ergodiques / stationnaires à moments finis, et indépendants. Alors $ \ {XY \} $ est également ergodique et

$$ \ operatorname {Var (XY)} = E (X ^ 2Y ^ 2) - [E (XY)] ^ 2 = E ( X ^ 2) E (Y ^ 2) - [E (X)] ^ 2 [E (Y)] ^ 2 $$

la rupture des valeurs attendues en raison de l'indépendance.

Vous demandez

$$ E (X ^ 2) E (Y ^ 2) - [E (X)] ^ 2 [E (Y)] ^ 2 \ leq E (X ^ 2) - [E (X)] ^ 2 \; \; ?? $$

$$ \ Rightarrow [E (X)] ^ 2 \ cdot [1- [E ( Y)] ^ 2] \ leq E (X ^ 2) \ cdot [1-E (Y ^ 2)] \; \; ?? \ qquad [1] $$

Depuis $ 0 \ leq Y \ leq 1 $ nous avons

$$ 0 \ leq E (Y) \ leq 1 \ Rightarrow 0 \ leq [E (Y)] ^ 2 \ leq1, \; \; 0 \ leq E (Y ^ 2) \ leq1 $$

et aussi

$$ E (Y ^ 2) > [E (Y)] ^ 2 \ Rightarrow [1 - [E (Y)] ^ 2] > [1-E (Y ^ 2)] \ qquad [2] $$

Examen de l'inégalité souhaitée $ [1] $ et de la vraie inégalité $ [ 2] $ on voit que $ [1] $ peut ou peut ne pas tenir, puisque $ [E (X)] ^ 2 < E (X ^ 2) $.

Je dirais que c'est instructif exemple de la façon dont les choses changent lorsque nous passons d'une hypothèse déterministe à une hypothèse stochastique - car si les $ y_i $ sont désignés comme une séquence déterministe, alors bien sûr la variance de $ X_iy_i $ n'est pas supérieure à la variance de $ X_i $ .