Simulation d'un mélange aléatoire 50-50 de $ \ mathsf {Norm} (\ mu = 90, \ sigma = 2) $ et $ \ mathsf {Norm} (\ mu = 100, \ sigma = 2) $ est illustré ci-dessous.Simulation en R.

  set.seed (827);m = 10 ^ 6
x1 = rnorm (m, 100, 2);x2 = rnorm (m, 90, 2)
p = rbinom (m, 1, .5)
x = x1;x [p == 1] = x2 [p == 1]
hist (x, prob = T, col = "skyblue2", main = "Mélange aléatoire 50-50 de NORM (90,2) et NORM (100,2)")
  courbe (.5 * (dnorm (x, 100, 2) + dnorm (x, 90, 2)), add = T, col = "red", lwd = 2)
 

J'espère qu'il est clair pour vous que C n'est pas garanti d'être normal. Cependant, une partie de votre question était de savoir comment écrire son PDF. @BallpointBen vous a donné un indice. Si cela ne suffit pas, voici quelques spoilers supplémentaires ...

Notez que C peut être écrit comme: $$ C = T \ cdot A + (1-T) \ cdot B $$ pour un Bernoulli aléatoire $ T $ avec $ P (T = 0) = P (T = 1) = 1/2 $ avec $ T $ indépendant de $ (A, B) $. C'est plus ou moins la traduction mathématique standard de l'énoncé anglais "C est A avec 50% de chance et B avec 50% de chance".

Maintenant, déterminer le PDF de C directement à partir de cela semble difficile, mais vous pouvez progresser en écrivant la fonction distribution $ F_C $ of C. Vous pouvez partitionner l'événement $ C \ leq X $ en deux sous-événements (selon la valeur de $ T $) à écrire:

$$ F_C (x) = P (C \ leq x) = P (T = 0 \ text {et} C \ leq x) + P (T = 1 \ text {et C} \ leq x) $$

et notez que par la définition de C et l'indépendance de T et B, vous avez:

$$ P (T = 0 \ text {et} C \ leq x) = P (T = 0 \ text {et} B \ leq x) = \ frac12P (B \ leq x) = \ frac12 F_B ( x) $$

Vous devriez pouvoir utiliser un résultat similaire dans le cas $ T = 1 $ pour écrire $ F_C $ en termes de $ F_A $ et $ F_B $. Pour obtenir le PDF de C, différenciez simplement $ F_C $ par rapport à x.

Une façon de travailler là-dessus est de l'analyser car la variance tend vers 0. De cette façon, vous obtiendrez une distribution de type Bernoulli, qui n'est (clairement) pas une distribution normale.

$ C $ n'est pas distribué normalement à moins que $ A $ et $ G $ sont distribués de manière identique. Si $ A $ et $ B $ sont distribués de manière identique, cependant, $ C $ sera également distribué de manière identique.

Preuve

Soit $ F_A $ , $ F_B $ et $ F_C $ être les fonctions de distribution cumulative (CDF) de A, B et C, respectivement, et $ f_A $ , $ f_B $ et $ f_C $ leurs fonctions de densité de probabilité (PDF), c'est-à-dire

$$ \ begin {array} {l} F_A (x) = \ Pr (A < x), \\ F_B (x) = \ Pr (B < x), \\ F_C (x) = \ Pr (C < x), \\ f_A (x) = \ frac {d} {dx} F_A (x), \\ f_B (x) = \ frac {d} {dx} F_B (x), \ text {et} \\ f_C (x) = \ frac {d} {dx} F_C (x). \ end {array} $$

Nous avons également deux événements:

• $ \ Gamma_1 $ , c'est-à-dire lorsque $ C $ est défini comme $ A $ , qui se produit avec la probabilité $ \ gamma $
• $ \ Gamma_2 $ , c'est-à-dire lorsque $ C $ est défini comme $ B $ , qui se produit avec une probabilité $ 1 - \ gamma $

Selon la loi de la probabilité totale,

$$ \ begin {array} {rl} F_C (x) \! \! \! \! & = Pr (C < x) \\ & = \ Pr (C < x \ | \ \ Gamma_1) \ Pr (\ Gamma_1) + \ Pr (C < x \ | \ \ Gamma_2) \ Pr (\ Gamma_2) \\ & = \ Pr (A < x) \ Pr (\ Gamma_1) + \ Pr (B < x) \ Pr (\ Gamma_2) \\ & = \ gamma F_A (x) + (1 - \ gamma) F_B (x). \ end {array} $$

Par conséquent,

$$ \ begin {array} {rl} f_C (x) \! \! \! \! & = \ frac {d} {dx} F_C (x) \\ & = \ frac {d} {dx} (\ gamma F_A (x) + (1 - \ gamma) F_B (x)) \\ & = \ gamma \ left (\ frac {d} {dx} F_A (x) \ right) + (1 - \ gamma) \ left (\ frac {d} {dx} F_B (x) \ right) \\ & = \ gamma f_A (x) + (1 - \ gamma) f_B (x), \ end {array} $$

et depuis $ \ gamma = 0.5, $

$$ f_C (x) = 0,5 f_A (x) + 0,5 f_B (x). $$

De plus, puisque le PDF d'une distribution normale est une fonction gaussienne positive, et que la somme de deux fonctions gaussiennes possibles est une fonction gaussienne positive si et seulement si les deux fonctions gaussiennes sont linéairement dépendantes, $ C $ est normalement distribué si et seulement si $ A $ et $ G $ sont distribués de manière identique.

Si $ A $ et $ B $ sont distribués de manière identique, $ f_A (x) = f_B (x) = f_C (x) $ , donc $ C $ sera également distribué de manière identique.

C'est le genre de problème où il est très utile d'utiliser le concept de CDF, la fonction de distribution de probabilités cumulées, de variables aléatoires, ce concept totalement inutile que les professeurs introduisent juste pour confondre les étudiants qui se contentent d'utiliser pdfs.

Par définition, la valeur du CDF $ F_X (\ alpha) $ d'une variable aléatoire $ X $ est égale à la probabilité que $ X $ ne soit pas plus grand que le nombre réel $ \ alpha $, c'est-à-dire, $$ F_X (\ alpha) = P \ {X \ leq \ alpha \}, ~ - \ infty < \ alpha < \ infty. $$ Or, la loi de la probabilité totale nous dit que si $ X $ est également susceptible d'être identique à une variable aléatoire $ A $ ou à une variable aléatoire $ B $, alors $$ P \ {X \ leq \ alpha \} = \ frac 12 P \ {A \ leq \ alpha \} + \ frac 12 P \ {B \ leq \ alpha \}, $$ ou, en d'autres termes, $$ F_X (\ alpha \} = \ frac 12 F_A (\ alpha \} + \ frac 12 F_B (\ alpha \}. $$ En nous souvenant de la façon dont votre professeur a bavardé sans cesse sur la façon dont le pdf est le dérivé du CDF pour les variables aléatoires continues, nous obtenons cela $$ f_X (\ alpha \} = \ frac 12 f_A (\ alpha \} + \ frac 12 f_B (\ alpha \} \ tag {1} $$ qui répond à l'une de vos questions. Pour le cas particulier des variables aléatoires normales $ A $ et $ B $, pouvez-vous déterminer si $ (1) $ donne une densité normale pour $ X $ ou non? Si vous connaissez des notions telles que $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ alpha f_X (\ alpha \} \, \ mathrm d \ alpha, \ tag {2} $$ pouvez-vous comprendre, en substituant le côté droit de $ (1) $ pour le $ f_X (\ alpha) $ dans $ (2) $ et en pensant à l'expression, ce que $ E [X] $ est en termes de $ E [A] $ et $ E [B] $?