Comme le note Whuber, vous pouvez toujours diriger vos collaborateurs vers une distribution discrète binaire. Mais ils pourraient considérer que «tricher» et revenir à l'affirmation la plus faible selon laquelle l'instruction proposée ne s'appliquait qu'aux distributions continues.

Utilisez donc la distribution uniforme sur l'intervalle unitaire $ [0,1] $ . Il a une moyenne de $ \ mu = 0,5 $ , une variance de $ \ frac {1} {12} $ , donc un écart type de $ \ sigma = \ frac {1} {\ sqrt {12}} \ environ 0,289 $ . Mais bien sûr, l'intervalle $ [\ mu- \ sigma, \ mu + \ sigma] \ approx [0.211,0.789] $ de longueur $ 2 \ sigma \ approx 0.577 $ ne contient que 57,7 $ \% $ de vos données (plus précisément: à mesure que la taille de l'échantillon augmente, la proportion approche 0,577 $ ), pas 68 $ \% $ , quel que soit le nombre de points de données que vous échantillonnez.

C'est une incompréhension assez omniprésente du théorème central limite, que j'ai également rencontré dans mon enseignement statistique. Au fil des années, j'ai rencontré ce problème si souvent que j'ai développé une méthode socratique pour y faire face. J'identifie un élève qui a accepté cette idée, puis je l'engage à comprendre ce que cela impliquerait logiquement. Il est assez simple d'accéder à la reductio ad absurdum de la fausse version du théorème, à savoir que chaque séquence de variables aléatoires IID a une distribution normale . Une conversation typique ressemblerait à ceci.

Teacher: J'ai remarqué dans cette question de devoir que vous avez dit que parce que $ n $ est volumineux, les données sont à peu près normalement distribuées. Pouvez-vous m'expliquer votre raisonnement sur ce point?

Student: Est-ce que c'est faux?

Teacher: Je ne sais pas. Jetons un coup d'œil.

Student: Eh bien, j'ai utilisé ce théorème dont vous avez parlé en classe; celui principal que vous avez mentionné plusieurs fois. J'ai oublié le nom.

Teacher: Le théorème de la limite centrale?

Student: Ouais, le théorème de la limite centrale.

Teacher: Génial, et quand ce théorème s'applique-t-il?

Student: Je pense que si les variables sont IID.

Teacher: Et ont une variance finie.

Student: Ouais, et variance finie.

Teacher: D'accord, donc les variables aléatoires ont une distribution fixe avec une variance finie, n'est-ce pas?

Student: Ouais.

Teacher: Et la distribution ne change pas ou quoi que ce soit?

Student: Non, ce sont des IID avec une distribution fixe.

Teacher: Très bien, alors laissez-moi voir si je peux énoncer le théorème. Le théorème de la limite centrale dit que si vous avez une séquence IID de variables aléatoires avec une variance finie, et que vous prenez un échantillon de $ n $ , alors comme cette taille d'échantillon $ n $ devient grand la distribution des variables aléatoires converge vers une distribution normale. Est-ce vrai?

Student: Oui, je pense que oui.

Teacher: Très bien, alors réfléchissons à ce que cela signifierait. Supposons que j'ai une séquence comme celle-là. Si je prends par exemple un millier de valeurs d'échantillon, quelle est la distribution de ces variables aléatoires?

Student: C'est à peu près une distribution normale.

Teacher: À quelle distance?

Student: Assez proche je pense.

Teacher: D'accord, et si je prends un milliard de valeurs d'échantillon. À quelle distance maintenant?

Student: Vraiment proche, je dirais.

Teacher: Et si nous avons une séquence de ces choses, alors en théorie nous pouvons prendre $ n $ aussi haut que nous le voulons, n'est-ce pas? Nous pouvons donc rendre la distribution aussi proche d'une distribution normale que nous le souhaitons.

Student: Ouais.

Teacher: Supposons donc que nous prenions $ n $ assez grand pour que nous soyons heureux de dire que les variables aléatoires ont fondamentalement une distribution normale. Et c'est une distribution fixe, non?

Student: Ouais.

Teacher: Et ils sont IID, non? Ces variables aléatoires sont IID?

Student: Ouais, ils sont IID.

Teacher: D'accord, donc ils ont tous la même distribution.

Student: Ouais.

Teacher: D'accord, donc cela signifie la première valeur de la séquence, elle a également une distribution normale. Est-ce vrai?

Studiant: Ouais. Je veux dire, c'est une approximation, mais oui, si $ n $ est vraiment grand alors il a effectivement une distribution normale.

Teacher: Très bien. Et il en va de même pour la deuxième valeur de la séquence, et ainsi de suite, non?

Student: Ouais.

Teacher: D'accord, donc vraiment, dès que nous avons commencé à échantillonner, nous obtenions déjà des valeurs qui sont essentiellement distribuées normalement. Nous n'avons pas vraiment eu besoin d'attendre que $ n $ devienne volumineux avant que cela ne commence.

Sétudiant: Hmmm. Je ne suis pas sûr. Cela semble faux. Le théorème dit que vous avez besoin d'un grand $ n $ , donc je pense que vous ne pouvez pas l'appliquer si vous n'avez échantillonné qu'un petit nombre de valeurs.

Teacher: D'accord, disons que nous échantillonnons un milliard de valeurs. Ensuite, nous avons un gros $ n $ . Et nous avons établi que cela signifie que les premières variables aléatoires de la séquence sont normalement distribuées, avec une approximation très proche. Si c'est vrai, ne pouvons-nous pas arrêter d'échantillonner tôt? Disons que nous allions échantillonner un milliard de valeurs, mais ensuite nous arrêtons d'échantillonner après la première valeur. Cette variable aléatoire était-elle toujours distribuée normalement?

Student: Je pense que ce n'est peut-être pas le cas.

Teacher: D'accord, donc à un moment donné sa distribution change?

Student: Je ne suis pas sûr. Je suis un peu confus à ce sujet maintenant.

Teacher: Hmmm, eh bien il semble que quelque chose d'étrange se passe ici. Pourquoi n'avez-vous pas une autre lecture du matériel sur le théorème de la limite centrale et voyez si vous pouvez trouver comment résoudre cette contradiction. Parlons-en plus alors.

C'est une approche possible, qui cherche à réduire le faux théorème à la réductio qui dit que chaque séquence IID (à variance finie) doit être composée de variables aléatoires normales. Soit l'élève arrivera à cette conclusion et réalisera que quelque chose ne va pas, soit il se défendra contre cette conclusion en disant que la distribution change à mesure que $ n $ devient grand. Dans tous les cas, cela provoque généralement une réflexion supplémentaire qui peut les amener à relire le théorème. Voici une autre approche:

Teacher: Regardons cela d'une autre manière. Supposons que nous ayons une séquence IID de variables aléatoires d'une autre distribution; celui qui est not une distribution normale. Est-ce possible? Par exemple, pourrions-nous avoir une séquence de variables aléatoires représentant le résultat du tirage au sort, à partir de la distribution de Bernoulli?

Student: Oui, nous pouvons avoir ça.

Teacher: D'accord, super. Et ce sont toutes des valeurs IID, donc encore une fois, elles ont toutes la même distribution. Donc, chaque variable aléatoire de cette séquence aura une distribution qui n'est pas une distribution normale, non?

Student: Ouais.

Teacher: En fait, dans ce cas, chaque valeur de la séquence sera le résultat d'un tirage au sort, que nous définissons comme zéro ou un. Est-ce vrai?

Student: Ouais, tant que nous les étiquetons de cette façon.

Teacher: D'accord, super. Donc, si toutes les valeurs de la séquence sont des zéros ou des uns, peu importe le nombre d'entre eux que nous échantillonnons, nous obtiendrons toujours un histogramme montrant les valeurs à zéro et un, non?

Student: Ouais.

Teacher: D'accord. Et pensez-vous que si nous échantillonnons de plus en plus de valeurs, nous nous rapprocherons de plus en plus de la vraie distribution? Par exemple, s'il s'agit d'une pièce équitable, l'histogramme finit-il par converger vers l'endroit où les barres de fréquence relatives ont la même hauteur?

Student: Je suppose que oui. Je pense que oui.

Teacher: Je pense que vous avez raison. En fait, nous appelons ce résultat la «loi des grands nombres». Quoi qu'il en soit, il semble que nous ayons un petit problème ici, n'est-ce pas. Si nous échantillonnons un grand nombre de valeurs, le théorème de la limite centrale dit que nous convergeons vers une distribution normale, mais cela ressemble à la «loi des grands nombres» dit que nous convergeons réellement vers la distribution vraie, qui n'est pas une distribution normale. En fait, c'est une distribution qui n'est que des probabilités sur la valeur zéro et la valeur unique, qui ne ressemble en rien à la distribution normale. Alors qu'est-ce que c'est?

Student: Je pense que lorsque $ n $ est grand, cela ressemble à une distribution normale.

Teacher: Alors décris-le-moi. Disons que nous avons retourné la pièce un milliard de fois. Décrivez la distribution des résultats et expliquez pourquoi cela ressemble à une distribution normale.

Student: Je ne sais pas vraiment comment faire ça.

Teacher: D'accord. Eh bien, êtes-vous d'accord que si nous avons un milliard de jetons de pièces, tous ces résultats sont des zéros et des uns?

Student: Ouais.

Teacher: D'accord, alors décrivez à quoi ressemble son histogramme.

Student: Il n'y a que deux barres sur ces valeurs.

Teacher: D'accord, donc pas en forme de "courbe en cloche"?

Student: Ouais, je suppose que non.

Teacher: Hmmm, alors peut-être que le théorème de la limite centrale ne dit pas ce que nous pensions.Pourquoi ne relisez-vous pas le matériel sur le théorème de la limite centrale et voyez si vous pouvez comprendre ce qu'il dit.Parlons-en plus alors.

Le théorème de limite central stipule que l'mean des données deviendra normalement distribué à mesure que la taille de l'échantillon augmente, dit nothing à propos des données elles-mêmes. Une autre façon de le dire est que la distribution du paramètre (la moyenne) est normale, mais elle est entièrement séparée de la distribution des données sous-jacentes.

La plupart de la valeur du CLT vient du fait que vous pouvez comparer des échantillons qui sont not normalement distribués les uns aux autres (basé uniquement sur le fait que, grâce au CLT, vous savez comment leurs moyens devraient se comporter).

Je pense que là où cela devient déroutant, c'est que ce n'est pas parce que vous pouvez comparer deux moyennes d'échantillons l'une à l'autre sur la base d'un test qui suppose la normalité (par exemple, le test t) que vous devrait . (c.-à-d. comparer les moyennes de deux distributions exponentielles peut ne pas vous dire ce que vous pensez que cela fait, ou deux distributions bimodales, ou une distribution bimodale avec une distribution unimodale, ect).

La question que la plupart des gens devraient se poser est la suivante: "est-ce que la moyenne (ou une différence de moyenne) est une mesure utile compte tenu de la distribution de mes données". Ce n'est que si la réponse à cette question est oui, devrait-on procéder à la comparaison des moyennes (donc en se basant sur le CLT).

En ne posant pas cette question, de nombreuses personnes tombent dans l'erreur logique suivante (grossièrement énoncée):

Le CLT s'applique, donc je peux comparer les moyennes. Et je peux comparer les moyens car ils sont normalement distribués. Cette comparaison doit être significative, car le CLT dit que je peux le faire (et le CLT est très puissant). La comparaison / test que j'utilise le plus intuitivement (/ seulement) a du sens lorsque les données sont normalement distribuées, et après tout, la moyenne est normalement distribuée, donc mes données doivent aussi être normalement distribuées!

Pour répondre directement à la question, vous pouvez:

1. Montrez-leur la définition, faites remarquer que le CLT ne prétend que sur la distribution de la moyenne approchant la normalité, insister sur la distribution d'un paramètre peut être très différente de la distribution des données dont il est dérivé .

2. Montrez-leur cette vidéo qui fournit une belle représentation visuelle du fonctionnement du CLT en utilisant plusieurs distributions différentes pour les données sous-jacentes. (c'est un peu bizarre, mais communiqué très clairement)

Addendum:

J'ai passé sous silence certains détails techniques dans mon explication afin de la rendre plus compréhensible pour quelqu'un qui est moins familier avec les statistiques. Plusieurs commentateurs l'ont souligné et j'ai donc pensé inclure leurs commentaires ici:

• Une déclaration plus précise du CLT serait:

" Le théorème central limite stipule que la moyenne des données deviendra normalement distribuée (plus précisément la différence entre la moyenne des données / échantillon et la vraie moyenne, multipliée par la racine carrée de la taille de l'échantillon $ \ sqrt {n} $ est distribué normalement) "

J'ai également vu cela expliqué comme " la somme correctement normalisée tend vers une distribution normale "

Il convient également de souligner que les données doivent être composées de variables aléatoires indépendantes et distribuées de manière identique avec une variance finie pour que le CLT s'applique.

• Une manière plus précise et / ou moins bayésienne de dire " la distribution du paramètre (moyenne) " serait " la distribution de l'estimation du paramètre par la moyenne régulière de l'échantillon "

CLT concerne la convergence d'une somme de variables aléatoires. Si nous avons un échantillon iid $ X_1, ..., X_n $ , où $ EX_i = \ mu $ span > et $ Var (X_i) < \ infty $ puis

$$ \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ left (X_1 + ... + X_n-n \ mu \ right) \ to N (0, Var (X_i)) $$

Cette déclaration concerne uniquement la proximité d'une distribution de somme convenablement normalisée $ (X_1 + ... + X_n) $ par rapport à la distribution normale. Cela ne dit rien sur la convergence de la distribution de $ X_i $ . Puisque $ X_i $ ne dépend pas de $ n $ pourquoi devraient-ils converger n'importe où?

La distribution empirique d'un échantillon $ X_i $ convergera en fait (à mesure que la taille de l'échantillon augmente) vers la distribution réelle de $ X_i $ selon le théorème de Donsker, donc à moins que la distribution réelle ne soit pas proche de la normale, la distribution empirique n'en sera pas non plus proche.

C'est ainsi que j'aime visualiser le CLT.Cependant, je ne suis pas sûr à 100% que l'argument est correct, veuillez vérifier.

Commencez par une population de valeurs dont la distribution est loin d'être normale. Ex. , une distribution uniforme:

  X <- runif (n = 50000)
hist (X)
 

Maintenant, prenez des échantillons $ n $ de cette population, calculez la moyenne de chaque échantillon, décalez la moyenne de l'échantillon par la moyenne de la population et mettez-la à l'échelle de $ \ sqrt {n} $ , tracez un histogramme de ces $ n $ signifie. Cet histogramme est (presque) normal:

  mu <- 1/2 # Moyenne de la population X
x <- représentant (NA, 1000)
taille <- 10
for (i in 1: length (x)) {
    x [i] <- sqrt (taille) * (moyenne (échantillon (X, taille = taille)) - mu)
}
 

Le point de confusion ici est ce qui converge réellement vers une distribution normale.Je pense que le moyen le plus simple de surmonter cela est d'expliquer des exemples des extrêmes d'une distribution d'échantillonnage, une avec une mesure par échantillon (comme si vous preniez des mesures directement à partir de la population comme vous le décrivez) et une où chaque échantillon est la population entière.À partir de là, il est plus facile de comprendre ce qui se passe dans le milieu.