Dans le cas de la prévision de séries temporelles, tout d'abord, vous devez comprendre que la stationnarité est importante principalement dans le contexte de l'ARMA et des modèles associés (AR: Auto-Regressive, MA: Moving Average). Il existe d'autres types de modèles de prévision de séries chronologiques où la stationnarité n'est pas une exigence, comme Holt-Winters ou Facebook Prophet.

Voici deux explications intuitives, sinon entièrement mathématiquement rigoureuses, expliquant pourquoi la stationnarité moyenne est importante dans le cas ARMA:

• Le composant AR des modèles ARMA, traite la modélisation de séries temporelles comme un problème d'apprentissage supervisé, $ Y_t = a_1Y_ {t-1} + ... a_nY_ {tn} + c + \ sigma (t) $ . Une règle de base courante dans l'apprentissage supervisé est que la distribution des données d'entraînement et la distribution des données de test doivent être identiques, sinon votre modèle fonctionnera mal sur les tests hors échantillon et sur les données de production. Étant donné que pour les données de séries chronologiques, votre ensemble de trains est le passé et votre ensemble de test est l'avenir, l'exigence de stationnarité consiste simplement à garantir que la distribution reste la même dans le temps. De cette façon, vous évitez les problèmes liés à l'entraînement de votre modèle sur des données dont la distribution est différente de la distribution de test / production. Et la stationnarité moyenne en particulier signifie simplement que la moyenne de la rame et la moyenne du test doivent rester les mêmes.

• Une considération encore plus simple: prenez le modèle ARMA le plus basique possible, un modèle $ AR (1) $ : $$ Y_t = aY_ {t-1} + c + \ sigma $$ donc la relation récursive pour estimer le pas basé sur la précédente est: $$ \ hat {Y} _t = a \ hat {Y} _ {t-1} + c $$ , $$ \ hat {Y} _t - c = a \ hat {Y} _ {t-1} $$ prenant la valeur attendue: $$ E (\ hat {Y} _t) - c = aE (\ hat { Y} _ {t-1}) $$ signifiant que: $$ a = \ frac {E (\ hat {Y} _t) - c} {E ( \ hat {Y} _ {t-1})} $$ donc si nous voulons que $ a $ reste constant dans le temps, ce qui est le début hypothèse d'un modèle $ AR (1) $ puisque nous voulons qu'il soit similaire à une régression linéaire, alors $ E ( \ hat {Y} _t) $ doit rester le même pour tous les $ t $ , c'est-à-dire que votre série a être moyen stationnaire.

Les considérations ci-dessus s'appliquent également au cas ARMA général, avec $ AR (p) $ et $ MA (q) termes $ , bien que le calcul soit un peu plus compliqué que ce que je décris, mais intuitivement, l'idée est toujours la même. Le «I» dans ARIMA signifie «intégré» qui fait référence au processus de différenciation qui permet de transformer une série chronologique plus générale en une série qui est stationnaire et peut être modélisée à l'aide de processus ARMA.

Je ne suis pas d'accord avec la caractérisation de @Alexis selon laquelle " que les séries temporelles sont stationnaires incarne plus ou moins la vision du monde selon laquelle le passé n'a pas d'importance " - si quelque chose est l'inverse: Transformer un tempssérie en une série stationnaire à des fins de modélisation consiste exactement à voir s'il existe des structures causales / déterministes dans la série chronologique au-delà de la simple tendance et de la saisonnalité.C'est à dire.le passé a-t-il un impact sur le présent ou le futur de manière plus subtile que les variations à grande échelle?(Mais je pourrais simplement mal interpréter ce qu'elle essaie de dire).

La stationnarité est importante car c'est une hypothèse mathématiquement forte qui est encore beaucoup plus faible que l'indépendance ou la dépendance à plage finie.

Dans certains contextes, c'est principalement important pour la traitabilité mathématique: il est plus facile de découvrir d'abord ce qui est vrai pour les séries temporelles stationnaires, puis vous pouvez travailler sur la façon d'assouplir les hypothèses. Peut-être n'avez-vous besoin que d'une stationnarité de sens faible, ou d'une stationnarité moyenne plus une condition de queue, ou autre. Ou peut-être avez-vous besoin de stationnarité pour qu'un résultat tienne exactement, mais il tient approximativement sous des hypothèses plus faibles.

Dans d'autres contextes, la stationnarité est importante car il y a tellement de façons d'être non stationnaire qu'il serait difficile de gérer chacune d'elles. Si un problème peut être approché par une série stationnaire, c'est un gros avantage pratique. Ici, il est important de se rappeler que la série stationnaire $ X (t) $ qui apparaît dans les mathématiques peut ne pas être vos données brutes. Par exemple, les modèles ARMA traditionnels sont stationnaires, mais vous souhaiterez généralement supprimer les relations de saison et de tendance avant d'en ajuster une. Vous souhaiterez peut-être transformer en journal une série dont la moyenne et la variance augmentent. Et ainsi de suite.

Premièrement, vos estimations moyennes et vos erreurs standard seront fortement biaisées si vous utilisez l'un des outils inférentiels qui supposent i.i.d, ce qui signifie que vos résultats risquent d'être faux.Cela peut même être vrai si vos données sont faiblement stationnaires, mais votre période d'étude est plus courte que le temps nécessaire à votre série pour atteindre l'équilibre après une perturbation.

Deuxièmement, supposer que les séries chronologiques sont stationnaires incarne plus ou moins la vision du monde selon laquelle le passé n'a pas d'importance (par exemple, la prévalence du COVID-19 aujourd'hui est complètement indépendante de la prévalence du COVID-19 hier; le \ $ par habitant dépensé pour des produits qui créent une dépendance comme les cigarettes cette année est complètement indépendant du \ $ par habitant dépensé pour eux l'année dernière)… un peu irréaliste.

Stationnaire signifie que les statistiques qui décrivent le processus aléatoire sont constantes. «Un processus de Markov sans mémoire» est une autre façon de dire stationnaire, tout en disant que la fonction génératrice de probabilité n’a pas de termes de «rétroaction», mais si vous reconnaissez ces mots, vous ne posez peut-être pas cette question. FWIW «faiblement stationnaire» n'est pas tout à fait la même chose, un taux de changement constant ou connaissable des statistiques serait faiblement stationnaire, comme le ferait quelque chose qui est en moyenne, mais c'est un peu plus compliqué, alors considérez cet avertissement juste qu'il y a plus à savoir au cas où cela ferait partie du puzzle, mais décrire tout ce qui n'est pas stationnaire en détail transformerait une réponse simple en une réponse complexe.

Pourquoi la stationnaire est-elle importante? Les formules statistiques couramment utilisées sont conçues pour utiliser un ensemble de données pour extraire une description imprécise avec une précision estimable d'un processus aléatoire autrement inconnu. Les formules supposent que l'ajout d'échantillons supplémentaires augmente la précision de la description en réduisant l'incertitude. Pour cela, la tendance moyenne centrale, c'est-à-dire ergodique dans la moyenne, doit être vraie. Si le processus aléatoire lui-même change, par ex. la valeur moyenne ou la variance change, alors une hypothèse sous-jacente essentielle est invalide, vous ne pouvez pas faire une meilleure estimation.

En règle générale, «que se passe-t-il» si la moyenne se déplace en fonction linéaire du temps, la moyenne calculée représentera la moyenne à un moment moyen pondéré et la variance calculée sera gonflée. Il est possible de calculer une estimation «optimale a posteriori» (après coup) d'un processus non stationnaire, puis de l'utiliser pour extraire des statistiques significatives car la meilleure estimation de la fonction de temps minimise la variance. Il est également facile d'émettre des hypothèses sur une fonction temporelle d'ordre élevé et de créer un modèle complexe qui semble être valide et prédictif qui n'a en fait aucun pouvoir prédictif car il a modélisé un instantané du caractère aléatoire, et non une tendance temporelle sous-jacente.

Bref et doux:

Les paramètres doivent être constants. Si la série n'est pas stationnaire, alors les paramètres que vous estimez seront eux-mêmes des fonctions du temps. Mais le modèle suppose qu'il s'agit de constantes, en tant que telles, vous estimerez la valeur moyenne du paramètre sur la période. Voir la réponse de Skander pour savoir pourquoi, je ne vais pas me plonger dans les mathématiques puisqu'il l'a déjà fait.

Cela pose au moins 2 problèmes:

1. Vos estimations de la valeur réelle du paramètre sont probablement erronées, car à tout moment, la valeur du paramètre est susceptible d'être différente de sa valeur moyenne. Par conséquent, toute inférence que vous faites à partir des données est probablement erronée. Cela conduit à de fausses régressions / corrélations.
2. Vous ne pouvez pas utiliser le modèle pour prédire l'avenir. Puisque votre paramètre est maintenant une fonction du temps, et que vous ne savez pas comment il évolue dans le temps, toute prévision que vous faites est complète (pardonnez mon français) horseshit.

Arriver à la stationnarité est en fait assez facile. Nous avons juste besoin de faire la différence jusqu'à ce que nous ayons une série stationnaire. Alors fais ça.