Question:
Quelle est la distribution du paramètre de distribution binomiale $ p $ étant donné un échantillon k et n?
Penz
2011-07-19 05:33:17 UTC
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Si j'ai un succès $ k $ dans les essais $ n $ bernoulli, le paramètre $ p $ de la distribution binomiale suit-il une distribution bien connue? Il existe des méthodes pour calculer les intervalles de confiance pour $ p $, I ' Je suis intéressé par la distribution de la méthode exacte.

Je pense que vous voulez dire la proportion d'échantillon $ \ hat {p} = k / n $.
Deux réponses:
#1
+12
steffen
2011-07-19 16:16:32 UTC
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D'un point de vue bayésien, la distribution de p avec k succès empiriques et n essais est la Beta-Distribution, en détail $ p \ sim Beta (\ alpha, \ beta) $ avec $ \ alpha = k + 1 $ et $ \ beta = n-k + 1 $. Il représente la densité non normalisée $ prob (p | data) $, c'est-à-dire la probabilité non normalisée que le paramètre inconnu soit $ p $ compte tenu des données (succès et essais) que vous avez vues jusqu'à présent.

Edit: Soit n arbitraire mais fixe. Ensuite, la densité postérieure peut être dérivée via le théorème de Bayes $ prob (p | k) = \ frac {prob (k | p) * prob (p)} {prob (k)} \ propto prob (k | p) \ propto p ^ k (1-p) ^ {nk} $. Un a priori uniforme $ prob (p) $ est supposé ici, la constante de normalisation $ prob (k) $ est ignorée car elle ne dépend pas de p. D'où "non normalisé". La distribution de $ prob (p | k) $ étant donné un n fixe (ie $ prob (p | k, n) $) est la Betadistribution comme spécifié ci-dessus.

Par exemple: Le r-package binom utilise la distribution Betadistribution pour calculer les intervalles de confiance. Voir les méthodes biom.confint i.e. binom.bayes

Bonne réponse. Je me demande ce qui est "non normalisé" dans la distribution bêta? Peut-être pensez-vous plutôt à $ p ^ \ alpha (1-p) ^ \ beta dp $?
C'est ça! Existe-t-il un moyen de le normaliser?
@whuber J'ai mis à jour ma réponse, je pensais à la "dérivation".
@Penz En général, il n'y a pas besoin de normalisation manuelle, par ex. pour la détermination des intervalles de confiance, vous pouvez utiliser les fonctions inverses cdf déjà disponibles telles que "qbeta" dans R.
#2
+4
Rob Hyndman
2011-07-19 07:39:32 UTC
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La proportion d'échantillon $ \ hat {p} = k / n $ a une distribution binomiale mise à l'échelle. C'est $ k \ sim \ text {Binomial} (n, p) $ qui est mis à l'échelle par la taille de l'échantillon $ n $. Je ne pense pas qu'il ait un autre nom.

Mon cerveau fond quand j'y pense.Si k = 3, n = 3, alors p = 1.Mais cela semble hautement improbable étant donné que Pr (p | k, n) est presque certainement non nul pour tout p.Beaucoup de p peuvent avoir généré k et n.
Si vous écrivez la fonction densité / masse du soi-disant binôme mis à l'échelle, il est possible d'en gagner beaucoup à l'intérieur


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