Question:
$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $, si $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $
MYaseen208
2011-05-05 08:42:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Que serait $ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $ , si $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $ ?

$ Var [X] \ stackrel {d} {=} \ mathbb {E} [X ^ 2] - (\ mathbb {E} [X]) ^ 2 \ to Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (\ mathbb {E} [X ^ 2]) ^ 2 $ ou peut-être encore plus déroutant $ Var [X ^ 2] = \ mathbb {E} [X ^ 4] - (Var [X ^ 2] + (\ mathbb {E} [X]) ^ 2) $
En général, il n'y a pas de formule facilement disponible. Vous pouvez utiliser la méthode delta pour obtenir l'approximation: voici [la question pertinente] (http://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790# 5790).
Quatre réponses:
#1
+13
Nick Sabbe
2011-05-05 11:35:13 UTC
view on stackexchange narkive permalink

A titre d'exemple simple des réponses de @ user2168 et @mpiktas: La variance de l'ensemble de valeurs 1,2,3 est de 0,67, tandis que la variance de son carré est de 10,89. D'autre part, la variance de 2,3,4 est également de 0,67, mais la variance des carrés est de 24,22.

Ce ne sont que des variances pour des ensembles finis de données, mais l'idée s'étend aux distributions.

Un autre exemple similaire: si +1 et -1 sont également probables alors la variance est 1, mais la variance des carrés est 0; si 0 et 2 sont également probables, la variance est à nouveau de 1 mais la variance des carrés est de 4.
#2
+4
by Taylor
2012-02-02 21:28:46 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Propagation d'erreur via la règle de Taylor (également appelée méthode "delta") -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ operatorname {Var} (X) $$

Voulez-vous dire 4 $ E (X) ^ 2 Var (X) $?
Hmmm ... Je me demande ce qui se passe dans la méthode delta quand $ E (x) = 0 $, comme dans la distribution normale standard ;-).
@whuber - vous pouvez ajouter un autre terme à l'expansion de Taylor sous-jacente à la méthode delta; si vous faites cela, vous obtenez $ \ text {Var} (X ^ 2) \ approx \ mu_4 (X) $, le quatrième moment central de $ X $.
@Elvis - vous avez raison; J'ai corrigé le formatage pour le rendre plus clair.
@Elvis, non, je voulais dire X ^ 2, mais vous faites un bon point. Cela ne s'applique qu'aux erreurs hétéroskédastiques, donc .. pas très utile à la question réelle qui a été posée!
?! $ \ mathrm {Var} \ left (X ^ 2 \ right) = 4 X ^ 2 \ mathrm {Var} (X) $ n'a aucun sens, sur le côté gauche vous avez une constante et sur le côté droit un aléatoire variable.
#3
+1
Acccumulation
2018-12-19 03:09:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Il est facile de voir que la relation entre les deux n'est pas constante en prenant $ X '= X + c $ .Le décalage d'une distribution par une constante n'affecte pas la variance, mais $ Var ((X + c) ^ 2) $ peut être rendu arbitrairement grand. $ Var (X ^ 2) $ est une statistique de quatrième ordre (c'est-à-dire une combinaison de moments d'ordre quatre et plus petits), et ne peut pas être écrit en termes destatistiques de commande telles que la variance et la moyenne.

#4
-1
yupbank
2018-12-18 21:26:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Propagation d'erreur via la règle de Taylor (également appelée méthode "delta") -

$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ operatorname {Var} (X)- \ operatorname {Var} (X) ^ 2 $$

Désolé, j'ai développé la règle du taylor dans un ordre supplémentaire, car le simple fait d'approcher le $ \ operatorname {Var} (X) $ a causé un problème linéaire avec monalgorithme, pensait que cela aiderait d'autres personnes à réaliser que ce n'est pas linéaire ...

-1 Vous proposez une solution * négative * chaque fois que $ E (X) $ est suffisamment petit, ce qui devrait vous mettre mal à l'aise, et vous suggérez également, à tort, qu'il existe une «solution exacte».Il n'y a pas de solution universelle sans faire une hypothèse explicite sur $ E (X ^ 4). $
désolé j'ai rencontré cette réponse https://stats.stackexchange.com/questions/5782/variance-of-a-function-of-one-random-variable/5790#5790 qui ont \ begin {align} Var (f (X)) = [f '(EX)] ^ 2Var (X) - \ frac {[f' '(EX)] ^ 2} {4} Var ^ 2 (X) + \ tilde {T}_3 \ end {align}.J'utilisais le \ begin {align} \ text {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ mathbb {E} (X) ^ 2 \ text {Var} (X) \ end {align} uniquement et j'ai rencontré des problèmes.et vous avez raison puisque $ \ tilde {T} _3 $ contient plus de f '' '(EX) * quelque chose, mais (f' '' (EX) + quelque chose) * quelque chose


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
Loading...